Matar mosques a canonades

La història que expliquem aquí comença amb un petit problema geomètric
inofensiu, plantejat el setembre de 2006 en una entrada de blog de R. Nandakumar, un
enginyer de Calcuta, a l'Índia. Aquest petit problema és una «mosca»: és temptador,
no tan fàcil de resoldre com hom potser podria esperar, i pertany a l'àmbit de les
matemàtiques recreatives, sense cap ús pràctic.
Veurem, no obstant això, com aquest petit problema connecta amb matemàtiques
molt serioses: per a la modelització d'aquest problema utilitzarem coneixements
d'una àrea clau de les matemàtiques aplicades, la teoria del transport optimal. Aquest
serà l'escenari per a l'aplicació d'una eina principal de les matemàtiques ben pures,
coneguda com a teoria equivariant d'obstruccions. Això és un «canó», amb el qual
passarem una estona divertida disparant a la mosca.
Per trobar una solució, les propietats combinatòries d'un objecte geomètric molt
clàssic, el permutaedre, resulten essencials. Aquestes, al final de la història, ens portaran
un altre cop a l'Índia, amb algun viatge en el temps que ens farà retrocedir cent
anys cap al passat: per al darrer pas en la nostra solució (parcial) del problema de la
mosca necessitem una propietat senzilla dels números del triangle de Pascal, que va
ser observada per primer cop per Balak Ram, a Madràs, l'any 1909.
Però, fins i tot si el problema d'existència s'ha resolt, el petit problema geomètric
encara no: si existeix solució, com podem trobar-ne una? Aquest problema es deixarà
al lector. En canvi, parlarem de la relació tibant entre canons i mosques, i acabarem
citant un poema de Hans Magnus Enzensberger.