Un nou model creat del no-res : un món on es pot quadrar el cercle!

Molt s'ha escrit sobre la història del cinquè postulat. En aquesta presentació s'ha volgut remarcar la importància del treball de János Bolyai, que, a partir d'un desenvolupament axiomàtic equivalent al seguit per Euclides, però canviant el cinquè postulat, arriba a donar l'expressió de l'element de longitud d'aquesta nova geometria, i introdueix doncs, amb llenguatge que llavors no es coneixia, una mètrica de Riemann de curvatura negativa en el pla. Això frustra el camí emprés per Gauss en el Disquisitiones generales circa superficies curvas. Així mateix, és remarcable que acceptar o no la unicitat de la paral·lela impliqui que certs cercles es poden quadrar.