El cos diferència i el cos de projecció en geometria convexa

En aquest article presentem nocions i resultats clàssics de geometria convexa
que són objecte de recerca actual, sovint perquè han trobat aplicacions a les
noves tecnologies. Ens centrem en tres famílies de convexos: les el·lipses, els cossos
centralment simètrics i els zonoides, i en donem algunes de les seves aplicacions en
diferents àrees de la geometria. Per exemple, demostrem el primer teorema fonamental
de Minkowski de la geometria de números, l'existència d'un el·lipsoide amb volum
màxim contingut a dins d'un convex l'anomenat el·lipsoide de John i estudiem
el problema de Shephard, que planteja si hi ha parelles de convexos tals que l'un té
volum més petit que l'altre, i àrea de les projeccions més gran. Els convexos centralment
simètrics i els zonoides, també els descriurem com a imatge de certs operadors
fonamentals en geometria convexa: l'operador diferència i l'operador projecció. A la
primera part de l'article, presentem els conceptes bàsics que farem servir i fem una
petita escapada a la geometria combinatòria, presentant el teorema de Helly i algunes
de les seves conseqüències.